Как строится доверительный интервал

Доверительный интервал - это статистический метод оценки параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных. Рассмотрим основные принципы его построения.

Основные понятия

• Доверительный интервал - диапазон значений, содержащий искомый параметр с заданной вероятностью
• Уровень доверия - вероятность (обычно 90%, 95% или 99%)
• Точность оценки - ширина интервала
• Точечная оценка - среднее значение выборки

Этапы построения доверительного интервала

1. Определение параметров

2. Расчет стандартной ошибки

Формула для среднего:

SE = σ / √n

где σ - стандартное отклонение, n - объем выборки

3. Определение критического значения

• Для нормального распределения: z-статистика
• Для малых выборок: t-статистика Стьюдента
• Зависит от уровня доверия

Формулы для разных случаев

Доверительный интервал для среднего

При известном σ:

CI = x̄ ± z*(σ/√n)

При неизвестном σ:

CI = x̄ ± t*(s/√n)

Доверительный интервал для доли

Формула Уилсона:

CI = p̂ ± z*√(p̂(1-p̂)/n

Пример расчета

Факторы, влияющие на ширину интервала

1. Объем выборки (чем больше n, тем уже интервал)
2. Уровень доверия (чем выше, тем шире интервал)
3. Разброс данных (чем больше σ, тем шире интервал)

Распространенные ошибки

• Интерпретация доверительного интервала как вероятности для параметра
• Использование z-распределения для малых выборок
• Неучет особенностей распределения данных
• Пренебрежение проверкой условий применимости

Построение доверительного интервала - важный статистический метод, позволяющий оценить точность выборочных оценок. Правильное применение этого инструмента требует понимания его математических основ и ограничений.